Question

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60⁰，E为PA的中点,F为PC上不同于P、C的任意一点.
(1)求证:PC∥面EBD
(2)求异面直线AC与PB间的距离
(3)求三棱锥E-BDF的体积.

Answer 1

(1)见解析
(2)
(3)

（1）设AC交BD于M，连接ME

∵面ABCD为正方形，∴M为AC的中点
又E为PA的中点，∴ME∥PC
∵ME面EBD，∴PC∥面EBD
（2）∵面ABCD为正方形, ∴BD⊥AC
∵AB=1,PA=2,∠PAB=60⁰,∴在△PAB中,由余弦定理得
PB²=PA²+AB²-2AB·PAcos60⁰=4+1-2×1×2×=3
∴PA²=PB²+AB²,即AB⊥PB
∵DA⊥面ABP,CB∥DA
∴CB⊥面ABPCB⊥PB ,∴PB⊥面ABCD,∴PB⊥MB,即MB为异面直线AC与PB间的垂线段
∵DB=
∴异面直线AC与PB间的距离为
（3）由（2）知，PB、BC、AB两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系,

则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1),D(0,1,1)
∵E为PA的中点,∴E(,,0)
设面BED的法向量为n=(a,b,c)
则
令c=,则b=-,a=1n=(1,-,)
由（1）知，PC∥面EBD，所以C点到面EBD的距离与F点到面EBD的距离相等.
设向量n与向量所成的角为
则cos==
设C点到面EBD的距离为d
则d=DC×cos=
由题设条件可求得DE=DB=，BE=1
∴S_△DEB=×1×=
∴V_E-BDF=V_F-EBD=V_C-EBD=××=