题目内容
2．求所有的定义域和值域均为自然数的函数f（x），使得：（1）对任意自然数m，n，都有f（m2+n2）=f2（m）+f2（n）；
（2）f（1）＞0．
分析 根据已知可（1）对任意自然数m，n，都有f（m2+n2）=f2（m）+f2（n）；（2）f（1）＞0．可得f（0）=0，或f（0）=$\frac{1}{2}$，进而可得满足条件的函数解析式．
解答 解：∵对任意自然数m，n，都有f（m2+n2）=f2（m）+f2（n）；
令m=n=0，则f（0）=2f2（0）；
解得：f（0）=0，或f（0）=$\frac{1}{2}$，
令m=1，n=0，则f（1）=f2（1）+f2（0）；
若f（0）=$\frac{1}{2}$，则f（1）=$\frac{1}{2}$，满足f（1）＞0，
令m=1，n=1，则f（2）=f2（1）+f2（1）；
则f（2）=$\frac{1}{2}$，
则存在函数f（x）=$\frac{1}{2}$满足条件，
若f（0）=0，由f（1）＞0得：f（1）=1，
令m=x，n=0，则f（x2）=f2（x）+f2（0）=f2（x）则，
此时仅有f（x）=x满足条件，
故满足条件的函数为f（x）=x或f（x）=$\frac{1}{2}$
点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，根据已知令x，y等于适合的值，进而“凑”出要解答或证明的结论，是解答的关键．
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