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4．已知定点A（3，1），P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$上的任一点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，则|PF2|+|PA|的最小值为10-5$\sqrt{2}$．

分析 由椭圆的定义结合三角形的性质，即可求出表达式的最小值．

解答 解：因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的a=5，b=3，c=4，所以F1（-4，0），
|F1A|=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|+|PA|+|F1A|≥|PF1|+|PF2|
∴|PF2|+|PA|≥|PF1|+|PF2|-|F1A|=10-5$\sqrt{2}$，
∴|PF2|+|PA|的最小值为10-5$\sqrt{2}$，
故答案为：10-5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．

练习册系列答案
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