题目内容

已知函数f(x)=()x
函数y=f1(x)是函数y=f(x)的反函数.
(1)若函数y=f1(mx2+mx+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值g(a);
(3)是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由

(1)∵f1(x)
=logx(x>0),
∴f1(mx2+mx+1)
=log(mx2+mx+1),由题知,mx2+mx+1>0恒成立,
∴①当m=0时,1>0满足题意;
②当m≠0时,
应有
⇒0<m<4,
∴实数m的取值范围为
0≤m<4.
(2)∵x∈[-1,1],
∴()x∈[,3],
y=[f(x)]2-2af(x)+3
=[()x]2-2a()x+3
=[()x-a]2+3-a2
当a<时,
ymin=g(a)=-;
当≤a≤3时,
ymin=g(a)=3-a2
当a>3时,ymin=g(a)
=12-6a.
∴g(a)

(3)∵m>n>3,且g(x)=12-6x在(3,+∞)上是减函数.
又g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2].

②-①得:6(m-n)=(m+n)(m-n)
∵m>n>3,∴m+n=6.但这与“m>n>3”矛盾.
∴满足题意的m、n不存在.

解析

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