题目内容
10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆的短轴端点与双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x2=1的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，取点B（0，2），连结BQ，过点B作BQ的垂线交x轴于点D，点E是点D关于y轴的对称点，试判断直线PE与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．
分析 （1）由椭圆的离心率公式和双曲线的焦点坐标，可得椭圆的b，再由a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；
（2）设D（d，0），求得向量BD，BQ的坐标，由垂直的条件可得d，求出直线PE的斜率和方程，代入椭圆方程，运用判别式，即可判断它们的位置关系．
解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x2=1的焦点为（0，$±\sqrt{3}$），
即有b=$\sqrt{3}$，a2-c2=3，
解得a=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意知点Q点坐标为（x0，0），
设D（d，0），则$\overrightarrow{BD}$=（d，-2），$\overrightarrow{BQ}$=（x0，-2），
由BD⊥BQ，得$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，∴dx0+4=0，∴d=-$\frac{4}{{x}_{0}}$．
由点E是点D关于y轴的对称点，得点E（$\frac{4}{{x}_{0}}$，0）．
直线PE的斜率为$\frac{{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
因点P在椭圆C上，故3x02+4y02=12．
于是直线PE的斜率为-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，其方程为y=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（x-$\frac{4}{{x}_{0}}$）．
代入椭圆方程，利用3x02+4y02=12，
化简得x2-2x0x+x02=0．
因△=4x02-4x02=0，故方程组有两组相同的实数解，
所以直线PE与椭圆C相切．
点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程判断直线和椭圆的位置关系，注意运用点在曲线上，点满足方程，同时考查直线的斜率和直线方程，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | 16 | B． | 14 | C． | 4 | D． | 2 |
| A班 | 5 | 5 | 8 | 8 | 9 |
| B班 | m | 4 | 7 | n | 8 |
（1）求表格中m和n的值；
（2）若从抽取的B班5人中任取2人，求2人都合格的概率．
| X | 0 | 1 |
| P | $\frac{a}{2}$ | $\frac{{a}^{2}}{2}$ |
| A． | 2 | B． | 2或$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 1 |
