Question

已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.
(1)若a=0，F(x)=f(x)-g(x),求函数F（x）的极值点及相应的极值.
(2)若对于任意x₂>0，存在x₁满足x₁<x₂且g(x₁)=f(x₂)成立，求a的取值范围.

Answer 1

(1)只有一个极小值点，极小值为0. (2)

试题分析：(1)首先求出F（x）的表达式，然后求导，根据单数的性质，求出原函数的单调区间，即可求出函数F（x）的极值点及相应的极值.
(2) 设，依题意即求在上存在零点时的取值范围.即只需要在上恒成立.即,在上恒成立.然后分，，，，根据导数的性质分别求使在上成立的a的取值范围，最后求并集.
试题解析：(1),
,
为减函数;
为增函数,
所以只有一个极小值点，极小值为0.        4分
(2) 设
依题意即求在上存在零点时的取值范围.
又当时，，且在定义域内单调递增，
所以只需要在上恒成立.
即，在上恒成立.
即,在上恒成立.    7分
若，显然不成立,因为由第一问知在为增函数，
故
,即在恒成立,
不妨设，
，
,       9分
若,则，若，,所以为增函数，（不合题意）,
若，若，,为增函数，（不合题意）,
若，若,，为减函数,（符合题意）,
综上所述,若时,恒成立,
则.           12分