Question

【题目】设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=2，an+1=Sn+2．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）令bn=（2n﹣1）an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，an+1=Sn+2．

∴a2=4，n≥2时，an=Sn﹣1+2，可得an+1﹣an=an，即an+1=2an，n=1时也满足．

∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．

∴an=2n．

（2）解：bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）2n．

∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×22+…+（2n﹣1）2n，

2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1，

∴﹣Tn=2+2（22+23++…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1=2× ﹣2﹣（2n﹣1）2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，

∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=（2n﹣1）2n ． 利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．