Question

【题目】抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F；
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），

设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2

∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）

（2）解：设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点

则x0+1=2x，0+y0=2 y

∴x0=2x﹣1，y0=2 y

∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．

∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1

【解析】（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（4，4），所以点（4，4）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标．（2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x0 ， y0），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到m点的轨迹方程．