题目内容
在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=2 |
(1)求证:平面BEF⊥平面DEF;
(2)求二面角A-BF-E的大小.
分析:(1)以点C为坐标原点,CD为x轴,CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系,然后分别求出平面BEF、平面DEF的法向量分别,根据法向量的数量积为0可得结论;
(2)先求出平面ABF的法向量然后求出与平面BEF的法向量的夹角,根据图形可知二面角A-BF-E的平面角是钝角,从而求出二面角的大小.
(2)先求出平面ABF的法向量然后求出与平面BEF的法向量的夹角,根据图形可知二面角A-BF-E的平面角是钝角,从而求出二面角的大小.
解答:解:(1)∵平面ACEF⊥平面ABCD,
EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,是A(
,
,0)
B(0,
,0),D(
,0,0),E(0,0,1),F(
,
,1),
∴
=(
,
,0),
=(0,-
,1),
=(-
,0,1)
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
=(x1,y,1),
=(x2,y2,1),
则
•
=
x1+
y1=0①
•
=-
y1+1=0②
•
=
x2+
y2=0③
•
=-
x2+1=0④
由①②③④解得x1=-
,y1=
;x2=
,y2=-
,
∴
=(-
,
,1),
=(
,-
,1)(4分)
∴
•
=-
-
+1=0,∴
⊥
,
故平面BEF⊥平面DEF(6分)
(2)设平面ABF的法向量
=(x1,y1,1),∵BF=(
,-
,1),
=(
,0,0)
∴
•
=
x3-
y3+1=0,
•
=
x3=0,解得x3=0,y3=
∴
=(0,
,1)(8分)
∴cos<
,
>=
=
=
(10分)
由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,
故所求二面角的大小为:π-arccos
.(12分)
EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,是A(
2 |
2 |
B(0,
2 |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴
EF |
| ||
2 |
| ||
2 |
BE |
2 |
DE |
2 |
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
m |
n |
则
m |
EF |
| ||
2 |
| ||
2 |
m |
BE |
2 |
n |
EF |
| ||
2 |
| ||
2 |
n |
DE |
2 |
由①②③④解得x1=-
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴
m |
| ||
2 |
| ||
2 |
n |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴
m |
n |
1 |
2 |
1 |
2 |
m |
n |
故平面BEF⊥平面DEF(6分)
(2)设平面ABF的法向量
p |
| ||
2 |
| ||
2 |
BA |
2 |
∴
p |
BF |
| ||
2 |
| ||
2 |
p |
BA |
2 |
2 |
∴
p |
2 |
∴cos<
m |
p |
| ||||
|
|
2 | ||||
|
| ||
3 |
由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,
故所求二面角的大小为:π-arccos
| ||
3 |
点评:本题主要考查了面面垂直的判定,以及二面角大小的度量,同时考查了推理能力、计算能力,以及应用向量知识解决立体几何问题的能力.
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