题目内容

精英家教网在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=
2
,EF=EC=1,
(1)求证:平面BEF⊥平面DEF;
(2)求二面角A-BF-E的大小.
分析:(1)以点C为坐标原点,CD为x轴,CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系,然后分别求出平面BEF、平面DEF的法向量分别,根据法向量的数量积为0可得结论;
(2)先求出平面ABF的法向量然后求出与平面BEF的法向量的夹角,根据图形可知二面角A-BF-E的平面角是钝角,从而求出二面角的大小.
解答:精英家教网解:(1)∵平面ACEF⊥平面ABCD,
EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,是A(
2
2
,0)

B(0,
2
,0),D(
2
,0,0),E(0,0,1),F(
2
2
2
2
,1)

EF
=(
2
2
2
2
,0),
BE
=(0,-
2
,1),
DE
=(-
2
,0,1)

设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
m
=(x1,y,1),
n
=(x2y2,1)

m
EF
=
2
2
x1+
2
2
y1
=0①
m
BE
=-
2
y1
+1=0②
n
EF
=
2
2
x2+
2
2
y2
=0③
n
DE
=-
2
x2
+1=0④
由①②③④解得x1=-
2
2
y1=
2
2
;x2=
2
2
y2=-
2
2

m
=(-
2
2
2
2
,1),
n
=(
2
2
,-
2
2
,1)
(4分)
m
n
=-
1
2
-
1
2
+1=0,∴
m
n

故平面BEF⊥平面DEF(6分)
(2)设平面ABF的法向量
p
=(x1y1,1)
,∵BF=(
2
2
,-
2
2
,1),
BA
=(
2
,0,0)

p
BF
=
2
2
x3-
2
2
y3
+1=0,
p
BA
=
2
x3=0,解得x3=0,y3=
2

p
=(0,
2
,1)
(8分)
∴cos<
m
p
>=
m
p
|
m
|•|
p
|
=
2
2
3
=
6
3
(10分)
由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,
故所求二面角的大小为:π-arccos
6
3
.(12分)
点评:本题主要考查了面面垂直的判定,以及二面角大小的度量,同时考查了推理能力、计算能力,以及应用向量知识解决立体几何问题的能力.
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