题目内容
在如图所示的多面体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA=2，EC=1．（Ⅰ）求点A到平面BDE的距离；
（Ⅱ）求二面角B-ED-A的正切值．
分析：（I）设点A到平面BDE的距离为h，然后根据VB-ADE=VA-BDE建立等式关系，求出h，即为点A到平面BDE的距离；
（II）取AC的中点M，连接BM，过M作MN⊥DE，交DE于N，连接BN，易知∠BNM是所求二面角的平面角，然后设AC、DE的延长线相交于点P，根据△MNP∽△DAP求出MN，可求出
二面角B-ED-A的正切值．
（II）取AC的中点M，连接BM，过M作MN⊥DE，交DE于N，连接BN，易知∠BNM是所求二面角的平面角，然后设AC、DE的延长线相交于点P，根据△MNP∽△DAP求出MN，可求出
二面角B-ED-A的正切值．
解答：解：
（Ⅰ）∵DE=BE=
，BD=2
，
∴S△BDE=
，设点A到平面BDE的距离为h．
又∵S△ABC=
，VB-ADE=VA-BDE
∴
•
•2=
•
•h∴h=
即点A到平面BDE的距离为
． …（6分）
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC
取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，BM⊥平面DACE．
过M作MN⊥DE，交DE于N，连接BN，则BN⊥DE，∴∠BNM是所求二面角的平面角．
设AC、DE的延长线相交于点P，∵DA=2EC，∴CP=2由△MNP∽△DAP得
=
，
MP=3，DA=2，DP=2
，∴MN=
又∵BM=
，∴tan∠BNM=
． …（12分）
（Ⅰ）∵DE=BE=| 5 |
| 2 |
∴S△BDE=
| 6 |
又∵S△ABC=
| 3 |
∴
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
即点A到平面BDE的距离为
| 2 |
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC
取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，BM⊥平面DACE．
过M作MN⊥DE，交DE于N，连接BN，则BN⊥DE，∴∠BNM是所求二面角的平面角．
设AC、DE的延长线相交于点P，∵DA=2EC，∴CP=2由△MNP∽△DAP得
| MN |
| MP |
| DA |
| DP |
MP=3，DA=2，DP=2
| 5 |
| 3 | ||
|
又∵BM=
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了点到面的距离的度量以及二面角平面角的度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
练习册系列答案
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