题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，
为椭圆上不同的两点，且以
为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线相切？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）根据离心率得到
的值，将
的坐标代入椭圆方程，结合
，求得
的值，进而求得椭圆标准方程.（2）当直线
的倾斜角是
时，求得直线的方程，此时直线和圆
：
相切. 当直线的倾斜角不是
时，设出直线的的方程，联立直线的方程和椭圆方程，消去
，写出韦达定理，利用
则
列方程，利用点到直线的距离公式求得原点到直线的距离为定值，这个定值恰好是圆的半径.由此证得结论成立.
（1）∵
，∴
.
即
，∴
，则椭圆方程为：
.
又椭圆过点
，∴
，∴
，则所求椭圆方程为：.
（2）当直线的倾斜角是时，直线的方程是：
，
与定圆：相切.
下证任意性，当直线的倾斜角不是时，
设直线：
，
，
，
，
∴
，
∵以为直径的圆过坐标原点，∴.
而
，
∴
，
即
，
圆心到直线的距离
，
即直线与圆：相切.
练习册系列答案
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【题目】某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位：千元)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：
x | 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
y | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
（1）求y关于x的回归方程
；
（2）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；
附：①
；
.
②参考数据如下：
i |
|
|
|
|
1 | 2 | 12 | 4 | 24 |
2 | 5 | 10 | 25 | 50 |
3 | 8 | 8 | 64 | 64 |
4 | 9 | 8 | 81 | 72 |
5 | 11 | 7 | 121 | 77 |
| 35 | 45 | 295 | 287 |
