Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（x-1，2），$\overrightarrow{b}$=（4，y）（x，y为正），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则xy的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件即可得到4（x-1）+2y=0，从而2x+y=2，而x，y为正，从而根据基本不等式即可得到$2x+y≥2\sqrt{2}•\sqrt{xy}$，从而$xy≤\frac{1}{2}$，这便得到xy的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴4（x-1）+2y=0；
∴2x+y=2；
∵x，y为正；
∴$2=2x+y≥2\sqrt{2}•\sqrt{xy}$；
∴$xy≤\frac{1}{2}$；
∴xy的最大值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，以及基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}，a，b＞0$，用于求最值．