已知集合M＝{f＝f(x+1).x∈R}. ∈M, 是周期函数.也是偶函数.于是他着手探究:M中的元素是否都是周期函数?是否都是偶函数?对这两个问题.给出并证明你的结论．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知集合M＝{f(x)|f(x)＋f(x＋2)＝f(x＋1)，x∈R}，

(Ⅰ)证明：g(x)∈M；

(Ⅱ)某同学注意到g(x)是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究：M中的元素是否都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵

　　

　　∴．

　　(Ⅱ)①是周期是6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数．

　　由得，

　　两式相加可得

　　

　　即是周期为6的周期函数，故中的元素是否都是周期函数．

　　②令，同上可证得，

　　∴，但是奇函数不是偶函数，

　　∴中的元素不都是偶函数．

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[　　]

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C．4个

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②若f₂(x)＝2x则f₂(x)∈M；

③若f₃(x)∈M，则y＝f₃(x)的图象关于原点对称；

④若f₄(x)∈M，则对于任意不等的实数x₁，x₂，总有＜0成立．

其中所有正确命题的序号是________

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②若f₂(x)＝2x，则f₂(x)∈M；

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