Question

7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，利用特殊角的三角函数值即可求出B的大小；
（Ⅱ）由已知可得a+c=2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），由于$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，则$\frac{1}{2}$＜sin（C+$\frac{π}{6}$）≤1，即可求得a+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）将bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，利用正弦定理化简得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，
可得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）A+C=π-B=$\frac{2π}{3}$，则0＜C＜$\frac{2π}{3}$，
则a+c=bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=$\sqrt{3}$cosC+3sinC=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC）=2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），
由于$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，则$\frac{1}{2}$＜sin（C+$\frac{π}{6}$）≤1，
则a+c的取值范围是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．