Question

椭圆与双曲线有相同的焦点F₁，F₂，P为两曲线的一个交点，且PF₁⊥PF₂，则两曲线的离心率之积是________．

Answer 1

分析：由题设中的条件，设焦距为2m，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2b，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，b的等式，从而可得到结论．
解答：由题意设焦距为2m，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2b，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2b ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a ②
又PF₁⊥PF₂，故|PF₁|²+|PF₂|²=4m² ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2b²④
∴a²+b²=2m²，
∵a²-b²=m²，
∴a²=m²，b²=m²
∴椭圆的离心率为，双曲线的离心率为
∴两曲线的离心率之积是==
故答案为：
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e₁与双曲线心率e₂满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．