题目内容

【题目】已知函数fx)=2lnx

)若a1,求函数fx)的极值;

)若函数fx)在区间[12]上为单调递增函数,求实数a的取值范围.

【答案】)见解析 (的取值范围是.

【解析】

试题分析:(1)利用导数求单调性的步骤进行即可;(2)函数fx)在区间[1,2]上为单调函数,等价于在区间[1,2]上,f′x≥0f′x≤0恒成立,然后转化为最值问题来处理.

试题解析:(1)当a1时,fx)=3x2x2ln x,其定义域为(0,+),

f′x)=4x3x0),

x∈0,1)时,f′x)>0,故函数fx)在区间(0,1)上单调递增;

x∈1,+)时,f′x)<0,故函数fx)在区间(1,+)上单调递减.

所以fx)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).

2)由题易得f′x)=4xx0),

因为函数fx)在区间[1,2]上为单调函数,所以在区间[1,2]上,f′x≥0f′x≤0恒成立,

4x≥04x≤0x∈[1,2]时恒成立,即≥4x≤4x1≤x≤2),即maxmin,其中1≤x≤2

hx)=4x1≤x≤2),易知函数hx)在[1,2]上单调递增,故h1≤hx≤h2).

所以≥h2)或≤h1),即≥4×2≤4×113

解得a00a≤a≥1. 故a的取值范围为(-00]∪[1,+).

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