题目内容
【题目】已知函数f(x)=-2+lnx.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)的取值范围是.
【解析】
试题分析:(1)利用导数求单调性的步骤进行即可;(2)函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,等价于在区间[1,2]上,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,然后转化为最值问题来处理.
试题解析:(1)当a=1时,f(x)=3x-2x2+ln x,其定义域为(0,+∞),
则f′(x)=-4x+3==(x>0),
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由题易得f′(x)=-4x+(x>0),
因为函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,所以在区间[1,2]上,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,
即-4x+≥0或-4x+≤0在x∈[1,2]时恒成立,即≥4x-或≤4x-(1≤x≤2),即≥max或≤min,其中1≤x≤2.
令h(x)=4x-(1≤x≤2),易知函数h(x)在[1,2]上单调递增,故h(1)≤h(x)≤h(2).
所以≥h(2)或≤h(1),即≥4×2-=,≤4×1-1=3,
解得a<0或0<a≤或a≥1. 故a的取值范围为(-∞,0)∪(0,]∪[1,+∞).
【题目】第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行.如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).
第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 | 第26届亚特兰大 | |
中国 | 38 | 51 | 32 | 28 | 16 |
俄罗斯 | 24 | 23 | 27 | 32 | 26 |
(1)根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);
(2)如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和(从第26届算起,不包括之前已获得的金牌数)随时间变化的数据:
时间(届) | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
金牌数之和(枚) | 16 | 44 | 76 | 127 | 165 |
作出散点图如图:
由图可以看出,金牌数之和与时间之间存在线性相关关系,请求出关于的线性回归方程,并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少?