Question

14．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC中，AE=$\sqrt{3}$，平面AEFC⊥平面ABCD，点G是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）若点A，B，C，E，F都在球O的球面上，求球O的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥AC，利用平面AEFC⊥平面ABCD，可得BC⊥平面AEFC，所以BC⊥AG，再证明AG⊥CG，即可证明AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道CA，CB，CF两两垂直，所以可以把四棱锥B-AEFC补成以CA，CB，CF为同一顶点的一个长方体，求出外接球的直径，即可求球O的表面积．

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，因为AD=DC=CB=2，AB=4，
所以cos∠CBA=$\frac{\frac{4-2}{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，所以∠ABC=60°
由余弦定理求得AC=$\sqrt{4+16-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
从而∠ACB=90°即BC⊥AC，
又因为平面AEFC⊥平面ABCD，所以BC⊥平面AEFC，
所以BC⊥AG，…（3分）
在矩形AEFC中，tan∠AGE=$\frac{AE}{EG}$=1，所以∠AGE=$\frac{π}{4}$，tan∠CGF=$\frac{CF}{GF}$=1，所以$∠CGF=\frac{π}{4}$，
所以∠CGF+∠AGE=$\frac{π}{2}$，即AG⊥CG，
因为BC∩CG=C
所以AG⊥平面BCG；…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知道CA，CB，CF两两垂直，所以可以把四棱锥B-AEFC补成以CA，CB，CF为同一顶点的一个长方体，…（8分）
其外接球的直径2R=$\sqrt{12+4+3}$=$\sqrt{19}$，
所以球O的表面积是S=4π•$（\frac{\sqrt{19}}{2}）^{2}$=19π．…（12分）

点评 本题考查线面垂直，考查球O的表面积，正确运用线面垂直的判定，求出外接球的直径是关键．