Question

已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数，其值域为[-]．
（1）试求a、b的值；
（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函数g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由函数f（x）定义域为R，∴b＞0．
又f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，得a=0．
因为y=f（x）=的定义域为R，所以方程yx²-x+by=0在R上有解．
当y≠0时，由△≥0，得-≤y≤，
而f（x）的值域为，所以=，解得b=4；
当y=0时，得x=0，可知b=4符合题意．所以b=4．
（2）①因为当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）=，
所以当x∈[3，6）时，g（x）=g（x-3）lnm=；
当x∈[6，9）时，g（x）=g（x-6）（lnm）²=，
故
②因为当x∈[0，3）时，g（x）=在x=2处取得最大值为，在x=0处取得最小值为0，
所以当3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）时，g（x）=分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为与0．
（ⅰ） 当|lnm|＞1时，g（6n+2）=的值趋向无穷大，从而g（x）的值域不为闭区间；
（ⅱ） 当lnm=1时，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3为周期的函数，从而g（x）的值域为闭区间；
（ⅲ） 当lnm=-1时，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6为周期的函数，
且当x∈[3，6）时g（x）=值域为，从而g（x）的值域为闭区间；
（ⅳ） 当0＜lnm＜1时，由g（3n+2）=＜，得g（x）的值域为闭区间；
（ⅴ） 当-1＜lnm＜0时，由≤g（3n+2）=＜，从而g（x）的值域为闭区间．
综上知，当m∈∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0时，g（x）的值域为闭区间．
分析：（1）由于 函数f（x）=是定义在实数集R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），构造方程，可求a与b值；
（2）由题意以及①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．得到；
对参数lnm分类讨论，再依据函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，即可得到m的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性，函数的值域，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的性质，以及分类讨论求出参数的取值范围．