题目内容
已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( )
分析:先求出导数f′(x),由f(x)有极大值、极小值可知f′(x)=0有两个不等实根.
解答:解:函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
因为函数有极大值和极小值,所以方程f′(x)=0有两个不相等的实数根,
即3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,∴(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得:a<-3或a>6.
故选D.
因为函数有极大值和极小值,所以方程f′(x)=0有两个不相等的实数根,
即3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,∴(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得:a<-3或a>6.
故选D.
点评:本题以函数的极值为载体,考查导数在求函数极值的应用,将函数有极大值和极小值,转化为方程f′(x)=0有两个不相等的实数根是解题的关键.
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