题目内容
已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（ ）
分析：先求出导数f′（x），由f（x）有极大值、极小值可知f′（x）=0有两个不等实根．
解答：解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），
因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，∴（2a）2-4×3×（a+6）＞0，解得：a＜-3或a＞6．
故选D．
因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，∴（2a）2-4×3×（a+6）＞0，解得：a＜-3或a＞6．
故选D．
点评：本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x）=0有两个不相等的实数根是解题的关键．
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