题目内容
对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=
n2-
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=
，求证：b1+
+…+
＜
．
【答案】分析：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4，所以△an+1-△an=6．由此能够证明{△an}是等差数列．
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，知△an+1-△an-△an+1+an=-2n，所以△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）由an=n•2n-1，bn=
=
=
，当n≥2，n∈N*时，
=
=
（
-
），由此入手，能够证明b1+
+…+
＜
．
解答：解：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4 （2分）
∴△an+1-△an=6．
∴数列{Dan}是首项为1，公差为5的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，⇒△an-an=2n．（5分）
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，∴
-
=
，（6分）
∴数列{
}构成以
为首项，
为公差的等差数列，
即
=
⇒an=n•2n-1．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=n•2n-1，
∴bn=
=
=
（9分）
∴当n≥2，n∈N*时
=
=
（
-
），
∴b1+
+…+
=1+[（
-
）+（
-
）+（
-
）+…+（
-
）+（
-
）]
=1+
（
+
-
-
）＜1+
（
+
）=
．
当n=1时，b1=1＜
，显然成立．
∴b1+
+…+
＜
．（12分）
点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，知△an+1-△an-△an+1+an=-2n，所以△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）由an=n•2n-1，bn=
==，当n≥2，n∈N*时，==（-），由此入手，能够证明b1++…+＜．解答：解：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4 （2分）
∴△an+1-△an=6．
∴数列{Dan}是首项为1，公差为5的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，⇒△an-an=2n．（5分）
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，∴
-=，（6分）∴数列{
}构成以为首项，为公差的等差数列，即
=⇒an=n•2n-1．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=n•2n-1，
∴bn=
==（9分）∴当n≥2，n∈N*时
==（-），∴b1+
+…+=1+[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]=1+
（+--）＜1+（+）=．当n=1时，b1=1＜
，显然成立．∴b1+
+…+＜．（12分）点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
n2-
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
，求证：b1+
+…+
＜
．
为{an}的k阶差分数列，其中
，且
。
的首项
，且满足
，求数列
及
的通项公式； 
是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由。 
，求数列{bn}的通项公式；
，求证：c1+
+…+
＜
．