题目内容
对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；类似的，规定{△2an}为数列{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=3n2-5n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=
，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记cn=
，求证：c1+
+…+
＜
．
【答案】分析：（Ⅰ）根据题意△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4，所以△an+1-△an=6．由此能够证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）由△2 an-△an+1+an=-2n，知△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式，从而求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）由an=n•2n-1，cn=
=
=
，当n≥2，n∈N*时，
，从而可证．
解答：解：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=3（n+1）2-5（n+1）-3n2+5n=6n-2．（2分）
∴△an+1-△an=6
∴数列{△an}是首项为4，公差为6的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，⇒△an-an=2n．
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，（5分）
∴
-
=
，即bn+1-bn=
，（6分）
∴数列{bn}构成以
为首项，
为公差的等差数列，即bn=
．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
=
，则an=n•2n-1，
∴c=
=
=
（9分）
∴当n≥2，n∈N*时
=
=
（
-
），
∴c1+
++
=1+
[（
-
）+（
-
）+（
-
）++（
-
）+（
-
）]
=1+
（
+
-
-
）＜1+
（
+
）=
．
当n=1时，c1=1＜
，显然成立
∴c1+
++
＜
．（12分）
点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
（Ⅱ）由△2 an-△an+1+an=-2n，知△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式，从而求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）由an=n•2n-1，cn=
==，当n≥2，n∈N*时，，从而可证．解答：解：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=3（n+1）2-5（n+1）-3n2+5n=6n-2．（2分）
∴△an+1-△an=6
∴数列{△an}是首项为4，公差为6的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，⇒△an-an=2n．
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，（5分）
∴
-=，即bn+1-bn=，（6分）∴数列{bn}构成以
为首项，为公差的等差数列，即bn=．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知
=，则an=n•2n-1，∴c=
==（9分）∴当n≥2，n∈N*时
==（-），∴c1+
++=1+[（-）+（-）+（-）++（-）+（-）]=1+
（+--）＜1+（+）=．当n=1时，c1=1＜
，显然成立∴c1+
++＜．（12分）点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
n2-
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
，求证：b1+
+…+
＜
．
为{an}的k阶差分数列，其中
，且
。
的首项
，且满足
，求数列
及
的通项公式； 
是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由。