Question

在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a-c）cosB
（Ⅰ）求∠B的大小
（Ⅱ）若b=

7

、a+c=4，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；
（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=

1

2

acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及b=

7

、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．

解答：解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）
又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0
∴2sinAcosB=sinA，即cosB=

1

2

，得B=

π

3

（Ⅱ）∵b²=7=a²+c²-2accosB
∴7=a²+c²-ac
又∵（a+c）²=16=a²+c²+2ac
∴ac=3
∴S△ABC=

1

2

acsinB
即S△ABC=

1

2

•3•

3

2

=

3 3

4

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理解决数学问题的能力，以及会利用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数的公式化简求值，本题是一道综合题，要求学生掌握的知识要全面．