题目内容
【题目】设函数.
(1)若函数在
上为减函数,求实数
的最小值;
(2)若存在,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)最小值为;(II)
【解析】试题分析: 在
上为减函数,等价于
在
上恒成立,进而转化为
,根据二次函数的性质可得
命题“若存在
,
,使
成立”等价于
“当时,有
”, 由
易求
,从而问题等价于“当
时,有
”,分
,
两种情况讨论:
当是易求
,当
时可求得
的值域为
,再按
两种情况讨论即可
解析:(1)由已知得,
因在
上为减函数,故
在
上恒成立。
所以当时
。
又,
故当时,即
时,
.
所以,于是
,故
的最小值为
.
(2)命题“若存在,
,使
成立”等价于
“当时,”
”,
由(1),当时,
,
.
问题等价于:“当时,有
”.
当,由(1),
在
为减函数,
则,故
.
当时,由于
在
上的值域为
(i),即
,
在
恒成立,故
在
上为增函数,
于是, ,矛盾。
(ii),即
,由
的单调性和值域知,
存在唯一,使
,且满足:
当时,
,
为减函数;当
时,
,
为增函数;
所以, ,
所以, ,与
矛盾。
综上得
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