Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足．
（1）求证：PG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的余弦值为．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面PBC内过点F作直线FM∥PC，交BC于点M，连接MG，BE，则有，由，知GM∥BE，由E为AD的中点，ABCE为菱形，知BC∥DE，BC=DE，由此能够证明FG∥平面PDC．
（2）取BC的中点为K，以点A为原点，射线AK为x轴正半轴，AD为y轴正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=2，由，得，，，设平面FCD的法向量，由，，得，由平面GCD的法向量，二面角F-CD-G的余弦值为，知|cos＜＞|=||=，由此能求出λ．
解答：（1）证明：在平面PBC内过点F作直线FM∥PC，交BC于点M，
连接MG，BE，则有，
∵，∴，∴GM∥BE，
∵E为AD的中点，ABCE为菱形，
∴BC∥DE，BC=DE，
∴CD∥BE∥GM，
∵FM∥PC，FM∩MG=M，且CD∩PC=C，
∴平面FGM∥平面PDC，
∵FG?平面FGM，∴FG∥平面PDC．

（2）解：取BC的中点为K，以点A为原点，射线AK为x轴正半轴，AD为y轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设PA=2，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，4，0），
由，得，，，
设平面FCD的法向量，则，，
即，
∴，
∵平面GCD的法向量，二面角F-CD-G的余弦值为，
∴|cos＜＞|=||=，
整理，得8λ²-14λ+5=0，
解得，或，
∵0＜λ＜1，∴．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，求实数的值，使得二面角的余弦值为定值．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．