Question

已知以原点D为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率，。

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x₁，y₁）的直线l₁：x₁x+4y₁y=4与过点N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直线l₂：x₂x+4y₂y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近 线分别交于G、H两点，求△OGH的面积。

Answer 1

解：（1）设C的标准方程为 则由题意 因此 C的标准方程为 C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0；
（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4 故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4 设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，由方程组 及解得： 设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4中，令y=0 得 （易知xE≠0），注意到xE2-4yE2=4，得 。