题目内容

精英家教网已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=
4
3
3
，离心率e=
3
2
，M是椭圆上的动点
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是(0，-
3
)，(0，
3
)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：
OQ
=
OM
+
ON
，
QA
•
BA
=0、求线段QB的中点P的轨迹方程．
分析：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．设c=
a2-b2
，由准线方程y=
4
3
3
．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）设M（xm，ym），B（xB，yB）Q（xQ，yQ）．因为N(xN，0)，
OM
+
ON
=
OQ
，故xQ=2xN，yQ=yM，xQ2+yQ2=（2xM）2+yy=4．因为
QA
•
BA
=0，（1-xQ-yQ）•（1-xN-yn）=（1-xQ）（1-xN）+yQyN=0，所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1．由此可导出动点P的轨迹方程为(x-
1
2
)2+y2=1．
解答：精英家教网解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，
故设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）．
设c=
a2-b2
，由准线方程y=
4
3
3
得．
由e=
3
2
得
c
a
=
3
2
，解得a=2，c=
3
，
从而b=1，椭圆方程为x2+
y2
4
=1．
又易知C，D两点是椭圆x2+
y2
4
=1的焦点，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
从而|MC|•|MD|≤(
|MC|+|MD|
2
)2=22=4，
当且仅当|MC|=|MD|，
即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）如图（20）图，设M（xm，ym），B（xB，yB）Q（xQ，yQ）．
因为N(xN，0)，
OM
+
ON
=
OQ
，
故xQ=2xN，yQ=yM，xQ2+yQ2=（2xM）2+yy=4①
因为
QA
•
BA
=0，
（1-xQ-yQ）•（1-xN-yn）
=（1-xQ）（1-xN）+yQyN=0，
所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1．②
记P点的坐标为（xP，yP），因为P是BQ的中点
所以2xP=xQ+xP，2yP=yQ+yP
由因为xN2+yN2=1，结合①，②得
x
2
P
+
y
2
P
=
1
4
((xQ+xN)2+(yQ+yN)2)
=
1
4
(
x
2
Q
+
x
2
N
+
y
2
Q
+
y
2
n
+2(xQxN+yQyN))
=
1
4
(5+2(xQ+xN-1))=
3
4
+xP
故动点P的轨迹方程为(x-
1
2
)2+y2=1
点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细求解．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=
5
5
，离心率e=
5
．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A的坐标为(-
5
，0)，B是圆x2+(y-
5
)2=1上的点，点M在双曲线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标．
已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率e=，
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A的坐标为，B是圆x2+（y-）2=1上的点，点M在双曲线右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标。

已知以原点O为中心的椭圆，它的短轴长为，右焦点（c>0），它的长轴长为2a（a>c>0），直线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P．Q两点．

（Ⅰ） 求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ） 若，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设，过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．
已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P的轨迹方程．

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