Question

18．用下列方法给定数列{a_n}，a₀=$\frac{1}{2}$，a_k=a_k-1+$\frac{1}{n}$a²_k-1（k=1，2，3…），证明：1-$\frac{1}{n}$＜a_n＜1．

Answer 1

分析 通过对a_k=a_k-1+$\frac{1}{n}$a²_k-1（k=1，2，3…）两边同时取倒数、裂项可知$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{n+{a}_{k-1}}$，放缩可知$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{{a}_{k}}$＜$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{{a}_{k}}$＞$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 证明：∵a_k-a_k-1=$\frac{1}{n}$a²_k-1＞0（k=1，2，3…），
∴数列{a_n}是一个单调递增数列，
∵a_k=a_k-1+$\frac{1}{n}$a²_k-1（k=1，2，3…），
∴$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{n}{{a}_{k-1}（n+{a}_{k-1}）}$=$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{n+{a}_{k-1}}$，
即$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{n+{a}_{k-1}}$＜$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$＜$\frac{1}{n}$，…，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{n}$，
累加得：$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{{a}_{0}}$-1=2-1=1，即a_n＜1；
∵a_k=a_k-1+$\frac{1}{n}$a²_k-1（k=1，2，3…），
∴$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{n}{{a}_{k-1}（n+{a}_{k-1}）}$=$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{n+{a}_{k-1}}$，
即$\frac{1}{{a}_{k-1}}$-$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{n+{a}_{k-1}}$＞$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$＞$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$＞$\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{n+1}$，
累加得：$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{n}{n+1}$=2-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n+2}{n+1}$，
即a_n＞$\frac{n+1}{n+2}$=1-$\frac{1}{n+2}$＞1-$\frac{1}{n}$；
综上所述，1-$\frac{1}{n}$＜a_n＜1．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．