Question

3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，当0＜x＜$\frac{1}{2}$时．f（x）=4^x，则f（-$\frac{11}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{f（x-1）}}$=f（x-1）可知f（x）周期为2，再结合奇函数的性质得f（-$\frac{11}{4}$）=f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$），而f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{1}{f（-\frac{1}{4}）}$=$\frac{1}{f（\frac{1}{4}）}$，f（$\frac{1}{4}$）=4${\;}^{\frac{1}{4}}$=$\sqrt{2}$，逐次代入即可．

解答 解：∵f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x）=f（x-1+1）=-$\frac{1}{f（x-1）}$，
f（x）=-$\frac{1}{f（x+1）}$，
∴f（x+1）=f（x-1）．
∴f（x）周期为2．
∴f（-$\frac{11}{4}$）=f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$），
f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{1}{f（-\frac{1}{4}）}$=$\frac{1}{f（\frac{1}{4}）}$，
f（$\frac{1}{4}$）=4${\;}^{\frac{1}{4}}$=$\sqrt{2}$，
∴f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（-$\frac{11}{4}$）=f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期，将-$\frac{11}{4}$转化到（0，$\frac{1}{2}$）上是本题的难点．