题目内容
【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>D)的离心率为
,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为
.
(1)求a、b的值;
(2)C上是否存在点P,使得当l绕P转到某一位置时,有 =
+
成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:直线l的方程为y=x﹣c,则 =
,解得c=1,
又 ,b2=a2﹣c2,解得
,b2=2.
∴得 ,b=
(2)解:由(1)可得:椭圆C的方程为 =1.
假设C上存在点P,使得当l绕P转到某一位置时,有 =
+
成立.设A(x1,y1),B(x2,y2).
设直线l的方程为my=x﹣1,联立 ,
化为(2m2+3)y2+4my﹣4=0,
∴y1+y2= .
∴x1+x2=m(y1+y2)+2= .
∴ =
+
=(x1+x2,y1+y2)=
.
代入椭圆方程可得: +
=1,
化为2m2﹣1=0,
解得m= .
∴直线l的方程为:y= (x﹣1).
由方程: ﹣1=0,
解得 ,
,
,
.
因此假设正确
【解析】(1)直线l的方程为y=x﹣c,则 =
,解得c,又
,b2=a2﹣c2,解得a,b即可得出.(2)由(1)可得:椭圆C的方程为
=1.假设C上存在点P,使得当l绕P转到某一位置时,有
=
+
成立.设A(x1,y1),B(x2,y2).
设直线l的方程为my=x﹣1,与椭圆方程联立化为(2m2+3)y2+4my﹣4=0,利用根与系数的关系及其 =
+
=(x1+x2,y1+y2),可得点P的坐标(用m表示),代入椭圆的方程即可得出.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为研究男女同学空间想象能力的差异,孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生,进行空间图形识别测试,得到成绩茎叶图如下,假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”,低于80分的同学为“空间想象能力正常”.
(1)完成下面2×2列联表,
空间想象能力突出 | 空间想象能力正常 | 合计 | |
男生 |
|
| |
女生 |
| ||
合计 |
|
(2)判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关;
(3)从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名,记其中成绩超过90分的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望. 下面公式及临界值表仅供参考:
P(X2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |