Question

若函数f（x）=|ex+

a

ex

|在x∈[-

1

2

，1]上增函数，则实数a的取值范围是

[-

1

e

，

1

e

]

．

Answer 1

分析：分a＜0和a≥0 两种情况进行讨论，当a＜0时，ex+

a

ex

单调递增，则必有ex+

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立；
当a≥0时，f（x）=ex+

a

ex

，则有f′（x）=ex-

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，从而可求出a的取值范围．

解答：解：（1）当a＜0时，ex+

a

ex

单调递增，
①若x∈[-

1

2

，1]时，ex+

a

ex

≤0，则f（x）=-（ex+

a

ex

）单调递减，与函数f（x）=|ex+

a

ex

|在x∈[-

1

2

，1]上是增函数不符；
②若x∈[-

1

2

，1]时，ex+

a

ex

有零点x₀，x0∈(-

1

2

，1)，则-

1

2

＜x＜x₀时，ex+

a

ex

＜0，f（x）=-（ex+

a

ex

）单调递减，也与题意不符，
故必有ex+

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，即a≥-e^2x恒成立，
又x∈[-

1

2

，1]时，-e^2x≤-e2(-

1

2

)=-

1

e

，∴-

1

e

≤a＜0．
（2）当a≥0时，f（x）=ex+

a

ex

，f′（x）=ex-

a

ex

，
∵f（x）在x∈[-

1

2

，1]上是增函数，∴f′（x）=ex-

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，
即a≤e^2x，又e^2x≥e2(-

1

2

)=

1

e

，所以0＜a≤

1

e

，综上，实数a的取值范围为[-

1

e

，

1

e

]．
故答案为：[-

1

e

，

1

e

]．

点评：本题考查了函数的单调性，解决本题的难点在于函数解析式含有绝对值符号，故解决本题的关键在于去掉绝对值符号．