Question

4．已知圆P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的圆心在直线y=x上，且与直线y=x+2相切与点B（0，2）（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求圆P的方程；
（2）点P在直线x-2y=0上的投影为A，求事件“向圆P内随机投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线性质得到a，b，r的方程组解之；
（2）根据垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质、点到直线的距离公式求出△POA的面积，利用几何概型概率公式求之．

解答 解：（1）因为圆P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的圆心在直线y=x上，且与直线y=x+2相切与点B（0，2），
所以$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{（0-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\\{\frac{|a-b+2|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{r=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以圆P的方程：（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）点P到直线x-2y=0的距离|PA|=$\frac{|1-2|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵PA⊥OA，∴|OA|=$\sqrt{{r}^{2}-P{A}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$|OA||PA|=$\frac{3}{10}$，
∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P=$\frac{{S}_{△OAP}}{{S}_{圆P}}$=$\frac{\frac{3}{10}}{2π}=\frac{3}{20π}$．

点评 熟练掌握垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质、点到直线的距离公式、几何概率的计算公式是解题的关键．