Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是[-1，0]．

Answer 1

分析 函数y=|f（x）|的图象经过原点，且不会出现在x轴下方，y=2ax的图象是经过原点，且斜率为2a的直线，利用导数法，求出函数y=|f（x）|的斜率范围，结合|f（x）|≥2ax，可得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，
∴当x≤0时，y=|f（x）|=x²-2x，
则y′=2x-2≤-2恒成立，
当x＞0时，y=|f（x）|=ln（x+1），
则y′=$\frac{1}{x+1}$∈（0，1），
由y=2ax的图象是经过原点，且斜率为2a的直线，
若|f（x）|≥2ax，则-2≤2a≤0，
解得：a∈[-1，0]，
故a的取值范围是[-1，0]，
故答案为：[-1，0]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象和性质，导数的几何意义，难度中档．