题目内容

15.如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC.
(Ⅰ)若O为△BCD的重心,N在棱AC上,且CF=2FN,求证:OF∥平面BDN.
(Ⅱ)求直线AD与平面DEF所成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)过O,F分别作OM∥BC,FH∥BC,分别交BD,BN于M,H,并连接MH,只需证明四边形OFHM为平行四边形,从而根据线面平行的判定定理即可得出OF∥平面BDN;
(Ⅱ)取AC中点G,并连接EG,根据条件可说明EG,EB,ED两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,确定图形上一些点的坐标,并设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$,可设直线AD与平面DEF所成角为θ,则由sinθ=$|cos<\overrightarrow{AD},\overrightarrow{n}>|$即可求得sinθ.

解答 解:(Ⅰ)证明:如图,过O作OM∥BE,并且OM=$\frac{2}{3}BE=\frac{a}{3}$,过F作FH∥BC,且FH=$\frac{1}{3}BC=\frac{a}{3}$;
∴OM∥FH,且OM=FH;
∴四边形OMHF是平行四边形;
∴OF∥MH,OF?平面BDN,MH?平面BDN;
∴OF∥平面BDN;
(Ⅱ)
取AC中点G,连接EG,则EG∥AB,AB⊥平面BCD;
∴EG⊥平面BCD;
又DE⊥BC;
EG,EB,ED三直线两两垂直,∴分别以这三直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则:
E(0,0,0),F($\frac{a}{4},-\frac{a}{4},0$),A(a,$\frac{a}{2}$,0),D(0,0,$\frac{\sqrt{3}a}{2}$);
∴$\overrightarrow{AD}=(-a,-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$,$\overrightarrow{ED}=(0,0,\frac{\sqrt{3}a}{2})$,$\overrightarrow{EF}$=($\frac{a}{4},-\frac{a}{4}$,0);
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$,则:
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=\frac{\sqrt{3}az}{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{ax}{4}-\frac{ay}{4}=0}\end{array}\right.$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{x=y}\end{array}\right.$,取y=1,∴$\overrightarrow{n}=(1,1,0)$;
设直线AD与平面DEF所成角为θ,则sinθ=|cos$<\overrightarrow{n},\overrightarrow{AD}>$|=$\frac{\frac{3a}{2}}{2a}=\frac{3}{4}$;
∴直线AD与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$.

点评 考查重心的性质:重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍,相似三角形对应边的比例关系,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量解决线面角问题的方法,能求空间点的坐标,平面法向量的定义及求法,向量夹角余弦的坐标公式.

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