Question

设函数f(x)=log

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x，给出下列四个命题：
①函数f（|x|）为偶函数；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；
③函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
则正确命题的序号是

 

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Answer 1

分析：由题设条件函数f(x)=log

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x，根据对数的函数的性质对四个命题进行判断，得出正误
①函数f（|x|）为偶函数，由偶函数的定义进行判断正误；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，由对数的性质进行推断即可判断此命题的正误；
③函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数，由复合函数的单调性易判断；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|，对两个数作差比较出它们的大小，得出正误；

解答：解：∵f(x)=log

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x
∴①函数f（|x|）为偶函数，此命题正确，因为f(-x)=log

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|-x|=log

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|x|=f(x)此函数是一个偶函数，命题是正确命题；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，此命题是正确命题，因为|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f（a）+f（b）=0，即log

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a+log

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b=0，故有ab=1；
③函数f（-x²+2x）的定义域是（0，2），故复合函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数错；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|，此命题，因为由题意f（1+a）＜0，f（1-a）＞0，若有|f（1+a）|＜|f（1-a）|成立，则f（1+a）+f（1-a）＞0，即f（1-a²）＞0，即1-a²∈（0，1）显然成立；
综上①②④都是正确命题
故答案为①②④

点评：本题考查对数函数的图象与性质的综合，解题的关键是熟练掌握对数的运算性质及函数奇偶性与单调性的性质，以及复合函数的单调性的判断方法，解答本题时命题②④的判断是一个难点，需要转化后再用对数的运算性质变形，方能判断出命题的真假．解题的时要注意依据题意合理转化