Question

10．已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）当a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上取得极值，求实数t满足的条件；
（2）若坐标原点为O，0＜a＜b，a+b＜2$\sqrt{3}$，f（x）在x=s，x=t处取得极值，求证：直线OA、OB不可能垂直．

Answer 1

分析 （1）只要具体求出函数的极值点，让两个极值点在区间（t，t+3）即可；
（2）把s，t用a，b表示，在假设垂直的条件下即可得到a，b的关系式，根据不等式只要证明a+b≥2$\sqrt{3}$，即可根据反证法原理得到所证明的结论．

解答 （1）解：当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．
函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，
则只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范围是（-1，0）．
（2）证明：假设$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，
故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，
即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的两个根，
故s+t=$\frac{2}{3}$（a+b），st=$\frac{ab}{3}$，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9．
（a+b）²=（a-b）²+4ab=$\frac{9}{ab}$+4ab≥12，
即a+b≥2$\sqrt{3}$，与a+b＜2$\sqrt{3}$矛盾，
所以直线OA与直线OB不可能垂直．

点评 本题综合考查导数研究函数极值、单调性、最值等，考查反证法思想在解题中的应用．本题的难点是第二问，其关键是在等式（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1中，通过配项可以使用韦达定理消掉s，t得到关于a，b的等式，本题这个地方的技巧是极高的．