题目内容
定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n为正整数．（1）设bn=2an+1，证明：数列{bn}是“平方递推数列”，且数列{lgbn}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
（3）记cn=
| log | Tn 2an+1 |
分析：（1）依据“平方递推数列”定义，结合条件an+1=2an2+2an，可证数列{bn}是“平方递推数列”，进而有lgbn+1=2lgbn．从而可证数列{lgbn}为等比数列；
（2）由（1）可得an=
（52n-1-1），对Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1）两边取对数，可求得Tn=52n-1．
（3）cn=2-(
)n-1，Sn=2n-2+2(
)n．要使Sn＞2008，则有n+(
)n＞1005，从而可求n的最小值．
（2）由（1）可得an=
| 1 |
| 2 |
（3）cn=2-(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．
∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
=2．
∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1?lg5，∴2an+1=52n-1，∴an=
（52n-1-1）．
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
=（2n-1）lg5．
∴Tn=52n-1．
（3）cn=
=
=
=2-(
)n-1，
∴Sn=2n-[1+
+(
)2++(
)n-1]=2n-
=2n-2[1-(
)n]=2n-2+2(
)n．
由Sn＞2008得2n-2+2(
)n＞2008，n+(
)n＞1005，
当n≤1004时，n+(
)n＜1005，当n≥1005时，n+(
)n＞1005，∴n的最小值为1005．
∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
| lg(2an+1+1) |
| lg(2an+1) |
∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1?lg5，∴2an+1=52n-1，∴an=
| 1 |
| 2 |
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
| (1-2n)lg5 |
| 1-2 |
∴Tn=52n-1．
（3）cn=
| lgTn |
| lg(2an+1) |
| (2n-1)lg5 |
| 2n-1lg5 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
∴Sn=2n-[1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
1-(
| ||
1-
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由Sn＞2008得2n-2+2(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当n≤1004时，n+(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查新定义，将数列放到新情境中，关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含．
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