题目内容

已知幂函数,且上单调递增.
(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

(1) , (2)  (3)

解析试题分析:(1)由题意知,解得:.   2分
 ∴,   3分
分别代入原函数,得.   4分
(2)由已知得.   5分
要使函数不单调,则,则.   8分
(3)由已知,.    9分
法一:假设存在这样的正数符合题意,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,
因而,函数上的最小值只能在处取得,
,
从而必有,解得.
此时,,其对称轴,
上的最大值为,符合题意.
∴存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,
由(1)知,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,

考点:幂函数及二次函数单调性最值
点评:第二问中二次函数不单调需满足对称轴在给定区间内,第三问关于最值的考查需注意对称轴与给定区间的关系,从而确定给定区间上的单调性得到最值,一般求解时都要分情况讨论

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