题目内容
已知函数,.
(Ⅰ)解方程:;
(Ⅱ)设,求函数在区间上的最大值的表达式;
(Ⅲ)若,,求 的最大值.
(Ⅰ).(Ⅱ).(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ),
或(舍去),
所以.
(Ⅱ),,
令,则,
①当时,,
②当时,,
若,则,
若,当,即时,,
当,即时,,
当,即时,,
综上,.
(Ⅲ)由题意知:,
所以,
其中,所以,
由知的最大值是,又单调递增,
所以.
考点:本题主要考查分段函数的概念,指数函数的性质,二次函数的图象和性质,均值定理的应用。
点评:中档题,本题综合考查分段函数的概念,指数函数的性质,二次函数的图象和性质,均值定理的应用。利用换元思想,将问题转化成二次函数问题,通过变换函数表达式,创建应用均值定理的条件,体现应用数学知识的灵活性。
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