题目内容

已知函数
(Ⅰ)解方程:
(Ⅱ)设,求函数在区间上的最大值的表达式;
(Ⅲ)若,求 的最大值.

(Ⅰ).(Ⅱ).(Ⅲ)

解析试题分析:(Ⅰ)
(舍去),
所以
(Ⅱ)
,则
①当时,
②当时,
,则
,当,即时,
,即时,
,即时,
综上,
(Ⅲ)由题意知:
所以
其中,所以
的最大值是,又单调递增,
所以
考点:本题主要考查分段函数的概念,指数函数的性质,二次函数的图象和性质,均值定理的应用。
点评:中档题,本题综合考查分段函数的概念,指数函数的性质,二次函数的图象和性质,均值定理的应用。利用换元思想,将问题转化成二次函数问题,通过变换函数表达式,创建应用均值定理的条件,体现应用数学知识的灵活性。

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