题目内容
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、.记其上顶点为,右顶点为.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点,使的面积最大.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点,使的面积最大.
(1)圆的方程为;
(2)当点的坐标为,的面积最大.
(2)当点的坐标为,的面积最大.
试题分析:(1)先将椭圆的方程为,利用待定系数法求出椭圆的方程,并求出椭圆的焦点坐标,利用圆与坐标轴相切于焦点,且圆心在线段上,从而求出圆心的坐标以及圆的半径,进而求出圆的方程;(2)法一是根据参数方程法假设点的坐标,并计算出点到线段的距离和线段的长度,然后以为底边,为的高计算的面积的代数式,并根据代数式求出的面积的最大值并确定点的坐标;法二是利用的面积取最大值时,点处的切线与线段平行,将切线与椭圆的方程联立,利用确定切线的方程,进而求出点的坐标.
试题解析:(1)设椭圆的方程为,则有,解得,
故椭圆的方程为,故上顶点,右顶点,
则线段的方程为,即,
由于圆与坐标轴相切于椭圆的焦点,且椭圆的左焦点为,右焦点为,
若圆与坐标轴相切于点,则圆心在直线上,此时直线与线段无交点,
若圆与坐标轴相切于点,则圆心在直线上,联立,解得,
即圆的圆心坐标为,半径长为,
故圆的方程为;
(2)法一:设点的坐标为,且,
点到线段的距离
,
,则,故,故,
,而,
则,
故当时,即当时,的面积取到最大值为,
此时点的坐标为;
法二:设与平行的直线为,
当此直线与椭圆相切于第一象限时,切点即所求点,
由得:①
令①中,有:,
又直线过第一象限,故,解得,
此时由①有,
代入椭圆方程,取,解得.故.
练习册系列答案
相关题目