Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l₁，l₂是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l₁交y轴于点E，l₂交圆C于P、Q两点．
（1）若t=|PQ|=6，求直线l₂的方程；
（2）若t是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标与半径，设直线l₂的方程y=k（x-1），利用PQ=6，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{10-9}$，即可求直线l₂的方程；
（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty-2t=0，由AM≤2BM，得（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$，依题意，线段AD与圆（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²=$\frac{20}{9}$至多有一个公共点，故$\frac{{|{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}t}|}}{{\sqrt{4+{t^2}}}}≥\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．

解答 解：（1）由题意，圆心坐标为（3，1），半径为$\sqrt{10}$，则
设直线l₂的方程y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{10-9}$，
∴k=0或$\frac{4}{3}$，（3分）
当k=0时，直线l₁与y轴无交点，不合题意，舍去．
∴k=$\frac{4}{3}$时直线l₂的方程为4x-3y-4=0．（6分）
（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得$\frac{x}{t}+\frac{y}{2}=1$，2x+ty-2t=0．
由AM≤2BM，得（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$．（8分）
依题意知，线段AD与圆（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²=$\frac{20}{9}$至多有一个公共点，
故$\frac{{|{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}t}|}}{{\sqrt{4+{t^2}}}}≥\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，解得$t≤\frac{{16-10\sqrt{3}}}{11}$或t≥$\frac{16+10\sqrt{3}}{11}$．
因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以t=4．
所以圆圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
①当直线l₂：x=1时，直线l₁的方程为y=0，此时，S_DEPQ=2；（10分）
②当直线l₂的斜率存在时，设l₂的方程为y=k（x-1），k≠0，
则l₁的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），点E（0，$\frac{1}{k}$），∴BE=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
又圆心到l₂的距离为$\frac{|k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴PQ=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-2k+4}{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△EPQ=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-2k+4}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{4（\frac{1}{k}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{4}}$≥$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
∵$\frac{\sqrt{15}}{2}$＜2，
∴（S_△EPQ）_min=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．（14分）

点评 本题考查直线方程，考查三角形面积的最小值的求法，确定三角形面积是关键．