Question

19．设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0）对任意的非零实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（1）求证：f（1）=f（-1）=0，且f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）（x≠0）；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，解不等式f（$\frac{1}{x}$）-f（2x-1）≥0．

Answer 1

分析 （1）赋值x=y=1，x=y=-1，y=$\frac{1}{x}$，即可证明结论；
（2）令y=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），即可判断f（x）的奇偶性；
（3）f（$\frac{1}{x}$）-f（2x-1）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）是偶函数，可得|$\frac{1}{x}$|≥|2x-1|，即可得出结论．

解答 （1）证明：令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令x=y=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0，
令y=$\frac{1}{x}$，可得f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），∴f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）（x≠0）；
（2）解：令y=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数；
（3）解：∵f（$\frac{1}{x}$）-f（2x-1）≥0，
∴f（$\frac{1}{x}$）≥f（2x-1），
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）是偶函数
∴|$\frac{1}{x}$|≥|2x-1|，
∴-1≤x（2x-1）≤1，
∴-$\frac{1}{2}$≤x≤1，
∵x≠0，2x-1≠0
∴不等式的解集为{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤1且x$≠0，x≠\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查赋值法的运用，考查函数的奇偶性，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．