Question

已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． 
(1）求的解析式；      (2）求函数的单调递增区间及极值；
(3）求函数在的最值.

Answer 1

解： (1) .     
(2) 有极小值为0.   在有极大值.           
（3）由及（2），得，函数的最大值为2，最小值为0.

本题考查导数在求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答
（1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知 f^′(1)=2a+b=0，f^′(0)=b=-2
，由此能求出f（x）．（2）由f（x）=x²-2x-3，知g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得x₁= ，x₂=1．列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．