已知A.B.C是直线l上的不同的三点.点O是直线l外一点.向量$\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{OB}$.$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}$-[2sin]$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$.记y=f(x)．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，点O是直线l外一点，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}$-[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$-（$\frac{3}{2}$-y）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及它的周期；
（2）若对任意x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，不等式f（x）-2^m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

分析（1）由题意可得 $\overrightarrow{OA}$=[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$+（y-$\frac{3}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，再根据A、B、C是直线l上的不同的三点，可得2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+y-$\frac{3}{2}$=1，即y=f（x）的解析式，从而求得f（x）的周期．
（2）根据x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}$-2^m＞0，再解指数不等式，求得m的范围．

解答解：（1）由$\overrightarrow{OA}$-[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$-（$\frac{3}{2}$-y）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得 $\overrightarrow{OA}$=[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$+（y-$\frac{3}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，
再根据A、B、C是直线l上的不同的三点，可得2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+y-$\frac{3}{2}$=1，
即 y=f（x）=$\frac{5}{2}$-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），故f（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）对任意x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=$\frac{5}{2}$-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
再根据不等式f（x）-2^m＞0恒成立，可得$\frac{1}{2}$-2^m＞0，∴m＜-1．

点评本题主要考查三点共线的性质，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，指数不等式的解法，属于中档题．