题目内容
【题目】已知非空集合满足
.若存在非负整数
,使得当
时,均有
,则称集合
具有性质
.记具有性质
的集合
的个数为
.
(1)求的值;
(2)求的表达式.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题(1)因为,所以
,对应的
分别为
,故
.(2)通过研究相邻两项之间关系,得递推关系,进而可求通项:设当
时,具有性质
的集合
的个数为
,当
时,
,关键计算
关于
的表达式,① 当
为偶数时,
为奇数,
;② 当
为奇数时,
为偶数,
,最后根据累加法解得
试题解析:(1)当时,
具有性质
,
对应的分别为
,故
.
(2)可知当时,具有性质
的集合
的个数为
,
则当时,
,
其中表达
也具有性质
的集合
的个数,
下面计算关于
的表达式,
此时应有,即
,故对
分奇偶讨论,
① 当为偶数时,
为奇数,故应该有
,
则对每一个,
和
必然属于集合
,且
和
,…,
和
共有
组数,每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合
,
故对每一个,对应的具有性质
的集合
的个数为
,
所以,
② 当为奇数时,
为偶数,故应该有
,
同理,
综上,可得又
,
由累加法解得
即
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