Question

已知（如图）在正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，点P是BC₁中点
（1）证明DP与平面ABC平行．
（2）是否存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直，如果存在请证明；若不存在，请说明理由．
（3）求四棱锥C₁-A₁B₁BD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图所示，取BC得中点M，连接PM，DP．利用三角形的中位线定理可得PM∥CC₁，，又AD=，．可得．
得到四边形AMPD是平行四边形，于是DP∥AM．利用线面平行的判定定理可得DP∥平面ABC．
（2）存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直．取线段AB的中点E，连接CE，由△ABC是正三角形，可得CE⊥AB．
由正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，可得侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，利用面面垂直的性质定理可得CE⊥侧面ABB₁A₁，
进而得到CE⊥BD．
（3）由（2）可知：CE⊥侧面ABB₁A₁，而CC₁∥平面ABB₁A₁，可得CE是四棱锥C₁-A₁B₁BD的高，
利用正△ABC的边长=4，可得高CE=2．利用梯形的面积计算公式可得，再利用四棱锥C₁-A₁B₁BD的体积V=即可．
解答：证明：（1）如图所示，取BC得中点M，连接PM，DP．
∵P是BC₁中点，∴PM∥CC₁，，
又AD=，．
∴．
∴四边形AMPD是平行四边形，∴DP∥AM．
DP?平面ABC，AM?平面ABC，
∴DP∥平面ABC．
（2）存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直．证明如下：
取线段AB的中点E，连接CE，∵△ABC是正三角形，∴CE⊥AB．
由正三棱柱（底面正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，可得侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，
∴CE⊥侧面ABB₁A₁，
∴CE⊥BD．
（3）由（2）可知：CE⊥侧面ABB₁A₁，而CC₁∥平面ABB₁A₁，∴CE是四棱锥C₁-A₁B₁BD的高，
∵正△ABC的边长=4，∴高CE=2．
又==12，
∴四棱锥C₁-A₁B₁BD的体积V===．
点评：本题综合考查了正三棱柱的性质、线面平行于垂直的位置关系、面面垂直的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、四棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力．