题目内容
【题目】设函数f(x)= ,证明:
(I)当x<0时,f(x)<1;
(II)对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a.
【答案】解:(Ⅰ)∵当x<0时,f(x)<1,等价于xf(x)>x,即xf(x)﹣x>0, 设g(x)=xf(x)﹣x=ex﹣1﹣x
∴g′(x)=ex﹣1<0,在(﹣∞,0)上恒成立,
∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,
∴g(x)>g(0)=1﹣1﹣0=0,
∴xf(x)﹣x>0恒成立,
∴x<0时,f(x)<1,
(Ⅱ)要证明当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a,
即整0<x<ln(1+a)时,f(x)﹣1<a,
即证 <a+1,
即证ex﹣1<(a+1)x
即证ex﹣1﹣(a+1)x<0,
令h(x)=ex﹣1﹣(a+1)x,
∴h′(x)=ex﹣(a+1)<eln(a+1)﹣(a+1)=0,
∴h(x)单调递减,
∴h(x)<h(0)=0,
同理可证当x<0时,结论成立
∴对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a
【解析】(Ⅰ)原不等式等价于xf(x)﹣x>0,构造函数,利用导数和函数的最值得关系即可证明,(Ⅱ)当0<x<ln(1+a)时,f(x)﹣1<a,等价于ex﹣1﹣(a+1)x<0,构造函数,利用导数和函数的最值得关系即可证明,同理可证﹣ln(1+a)<x<0,问题得以证明
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点,需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等才能正确解答此题.
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