Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E．F．M分别是线段PD．PC．AB的中点．
（Ⅰ）求证：MF⊥PC；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角．

Answer 1

分析：（I）由已知中PA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，可得PA⊥CD，AD⊥CD，由线面垂直的判定定理得CD⊥平面PAD，进而得CD⊥AE，再由PA=AD，E为PD的中点根据等腰三角形“三线合一”可得AE⊥PD，由线面垂直的判定定理得AE⊥平面PCD，进而AE⊥PC，最终由MF∥AE得到MF⊥PC；
（Ⅱ）由（I）的结论，我们易得AB⊥平面PAD，即EA⊥AB且DA⊥AB，即∠EAD即为二面角E-AB-D的平面角，解三角形EAD即可得到答案．

解答：证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD
又∵PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
又由AE?平面PAD
∴CD⊥AE
又∵PA=AD，E为PD的中点
∴AE⊥PD
又由PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
又∵PC?平面PCD
∴AE⊥PC
又∵MF∥AE
∴MF⊥PC
（II）由（I）中CD⊥平面PAD，又由AB∥CD
∴AB⊥平面PAD，
即EA⊥AB且DA⊥AB
∴∠EAD即为二面角E-AB-D的平面角
又∵PA=AD，E为PD的中点
∴∠EAD=

π

4

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，其中熟练根据正方形，等腰三角形中提取必要的线线垂直关系，是解答本题的关键．