Question

16．设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①f（x）的定义域为R；②方程f（x）-x=0有实数根；③函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（1）判断函数f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{sinx}{4}$是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（3）证明：对于任意的x₁，x₂，x₃，当|x₂-x₁|＜1且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{sinx}{4}$，求得定义域，解方程可得x=0，求得导数，由cosx的值域，即可判断；
（2）运用反证法，考查函数f（x）-x为减函数，即可得证；
（3）不妨设x₂＜x₃，由f′（x）＞0，可得f（x）为增函数，即有f（x₂）＜f（x₃），又f′（x）＜1可得函数f（x）-x为减函数，结合极大值不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{sinx}{4}$的定义域为R，
方程f（x）-x=0，即为sinx=2x，显然x=0成立；
f′（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cosx∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]⊆（0，1），
即有函数f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{sinx}{4}$满足条件①②③，
因此f（x）∈M；  　　
（2）证明：假设f（x）-x=0存在两个实根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0，
不妨设α＜β，∵f′（x）＜1，∴函数f（x）-x为减函数，
∴f（α）-α＞f（β）-β，矛盾．
所以方程f（x）-x=0只有一个实数根，
（3）证明：不妨设x₂＜x₃，∵f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，
∴f（x₂）＜f（x₃），
又∵f′（x）＜1，∴函数y=f（x）-x为减函数，
∴f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃，
∴0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，
∴|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查反证法和函数的单调性的运用，属于中档题．