题目内容
已知tanα=3，求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
（1）
| 4sinα-cosα |
| 3sinα+5cosα |
（2）
| 1 |
| 2sinαcosα+cos2α |
分析：（1）将分式的分子和分母都除以cosα，结合同角三角函数的商数关系可得关于tanα的式子，再将tanα=3代入即可；
（2）首先利用“1的代换”将分子化成sin2α+cos2α，然后将分式的分子和分母都除以cos2α，结合同角三角函数的商数关系将原式化简成为关于tanα的式子，最后将tanα=3代入即可求出原式的值．
（2）首先利用“1的代换”将分子化成sin2α+cos2α，然后将分式的分子和分母都除以cos2α，结合同角三角函数的商数关系将原式化简成为关于tanα的式子，最后将tanα=3代入即可求出原式的值．
解答：解：（1）∵原式=
∴分子分母都除以cosα，得
原式=
=
=
（2）∵原式=
∴将分子化成1=sin2α+cos2α，可得原式=
再将分子分母都除以cos2α，得
原式=
=
=
=
=
| 4sinα-cosα |
| 3sinα+5cosα |
∴分子分母都除以cosα，得
原式=
| ||||
|
| 4tanα-1 |
| 3tanα+5 |
| 4×3-1 |
| 3×3+5 |
| 11 |
| 14 |
（2）∵原式=
| 1 |
| 2sinαcosα+cos2α |
∴将分子化成1=sin2α+cos2α，可得原式=
| sin2α+cos2α |
| 2sinαcosα+cos2α |
再将分子分母都除以cos2α，得
原式=
| ||||
|
| tan2α+1 |
| 2tanα+1 |
| 32+1 |
| 2×3+1 |
| 10 |
| 7 |
| 32+1 |
| 2×3+1 |
| 10 |
| 7 |
点评：本题给出角α的正切，求关于sinα、cosα的分式的值，着重考查了同角三角函数的基本关系的知识，属于基础题，解题时应该注意“弦化切”数学思想的运用．
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