已知函数f(x)的定义域为D.若函数f存在且连续且x0为y=f′(x)的极值点,则称点(x0.f(x0))是函数f(x)的拐点．则下列结论中正确的序号是①③．①函数y=sinx的拐点为.k∈Z,②函数f(x)=ex-$\frac{1}{12}{x^4}$有且仅有两个拐点,③若函数f(x)=4xlnx+$\frac{1}{6}{x^3}+\frac{a+1}{2}{x^2}$有两个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）的导函数f′（x）存在且连续且x₀为y=f′（x）的极值点；则称点（x₀，f（x₀））是函数f（x）的拐点．则下列结论中正确的序号是①③．
①函数y=sinx的拐点为（kπ，0），k∈Z；
②函数f（x）=e^x-$\frac{1}{12}{x^4}$有且仅有两个拐点；
③若函数f（x）=4xlnx+$\frac{1}{6}{x^3}+\frac{a+1}{2}{x^2}$有两个拐点，则a＜-5；
④函数f（x）=xe^x的拐点为（x₀，f（x₀）），则存
在正数ε使f（x）在区间（x₀-ε，x₀）和区间（x₀，x₀+ε）上的增减性相反．

分析根据拐点的定义，得到f″（x₀）=0，即x₀为函数的拐点，
对于①，求出即可判断，
对于②利用数形结合的思想，得到函数只有一个拐点，
对于③利用拐点的定义，即可得到x²+（a+1）x+4=0，有两个正根，求出a的范围，即可判断；
对于④判断函数f（x）的单调性，求出函数的拐点，即可判断．

解答解：对于①，y=sinx，则y′=cosx，当x₀=kπ时，函数有极值点，f（kπ）=sin（kπ）=0，
故函数y=sinx的拐点为（kπ，0），k∈Z，故①正确，
对于②，f′（x）=e^x-$\frac{1}{3}$x³，f″（x）=e^x-x²，如图所示，
当x=x₀时函数有极值点，并且只有一个，故函数f（x）=e^x-$\frac{1}{12}{x^4}$有且仅有一个拐点，故②错误；
对于③，函数f（x）=4xlnx+$\frac{1}{6}{x^3}+\frac{a+1}{2}{x^2}$有两个拐点，则f′（x）=4（1+lnx）+$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x，
则f″（x）=$\frac{4}{x}$+x+a+1=$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+4}{x}$，
则f″（x）=0，即x²+（a+1）x+4=0，有两个正根，$\left\{\begin{array}{l}{（a+1）^{2}-16＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-（a+1）＞0}\end{array}\right.$，解得a＜-5，
故③正确；
对于④，f（x）=xe^x，则f′（x）=（1+x）e^x，f″（x）=（2+x）e^x，
当f″（x）=0时，即x=-2，函数f（x）有拐点，则拐点为（-2，-$\frac{2}{{e}^{2}}$）
因为当x＞-1时，函数f（x）单调递增，当x＜-1时，函数单调递减，
所以函数在（-2-ε，-2）的单调递减，在区间（-2，-2+ε）上的单调性则不一定，故④错误；
故答案为：①③．